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数学米勒定理证明

来源:www.pendejadas.net 时间:2024-05-21 23:32:11 作者:条理数学网 浏览: [手机版]

  米勒定理是数论中的一条要定理,它给出了一种有效的测试方,可以判断一个数是否为素数条_理_数_学_网。本文将对米勒定理进行证明

数学米勒定理证明(1)

前置知识

  在证明米勒定理之前,们需要了解一些基本数论知识。

  1. 模

  在模算中,们将一个数除以另一个数,得到的余数称为模。例如,10模3的余数为1,记10≡1(mod 3)。

2. 费马小定理

  费马小定理是一个基本的数论定理,它明如果p是一个素数,a是一个整数,且a不是p的倍数,则a的p-1次方模p等于1,即a^(p-1)≡1(mod p)条+理+数+学+网

数学米勒定理证明(2)

米勒定理的

米勒定理是一种用于判断一个数是否为素数的方。它的述如下:

设n是一个于1的奇数,且n-1可以写成2^s*d的形式,其中d是一个奇数。对于任整数a,如果满足以下条件之一,则n不是素数:

  1. a^d≡1(mod n);

2. 存在一个整数r,使得0≤r≤s-1,并且a^(2^r*d)≡-1(mod n)。

米勒定理的证明

为了证明米勒定理,们需要使用一些基本数论知识。

  首先,们需要证明一个引理条~理~数~学~网

引理:如果n是一个素数,a是一个整数,且a不是n的倍数,则a^(n-1)≡1(mod n)。

证明:根据费马小定理,a^(n-1)≡1(mod n)。因此,如果n是一个素数,引理成立。

  接下来,们考一个数n,它可以写成2^s*d的形式,其中d是一个奇数。们假设n是素数,然后证明a满足上述条件之一时,n不是素数条 理 数 学 网

首先,如果a^d≡1(mod n),则有a^n≡a^(2^s*d)≡(a^d)^(2^s)≡1(mod n)。因此,如果a^d≡1(mod n),则a^n≡1(mod n),即n不是素数。

  其次,们假设存在一个整数r,使得0≤r≤s-1,并且a^(2^r*d)≡-1(mod n)。由于n可以写成2^s*d的形式,因此n-1可以写成2^(s-1)*2*d的形式。因此,们有:

a^(n-1)=(a^(2^r*d))^(2^(s-r-1)*2*d)≡(-1)^(2^(s-r-1)*2*d)≡1(mod n)条 理 数 学 网

  因此,如果存在一个整数r,使得0≤r≤s-1,并且a^(2^r*d)≡-1(mod n),则a^(n-1)≡1(mod n),即n不是素数。

  综上所述,如果n是一个素数,且a不是n的倍数,则a满足上述条件之一时,n不是素数。因此,米勒定理成立。

结论

  米勒定理是一种有效的判断一个数是否为素数的方。它的证明基于一些基本的数论知识,包括模算和费马小定理条~理~数~学~网。米勒定理的应用范围广泛,是现代密码学中的要工具。

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